ยงยุทธ สุวภาพ เริ่มทำงานเป็นพนักงานประจำธนาคารเพื่อการเกษตรและสหกรณ์การเกษตร (ธกส.) จนกระทั่งได้รับตำแหน่งสูงสุดคือ พนักงานบริหารสินเชื่อ 8 สำนักงาน ธกส.จังหวัดเชียงใหม่ ต่อมาจึงได้ลาออกมาทำงานการเมือง โดยสมัครรับเลือกตั้งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎร จังหวัดเชียงใหม่ ซึ่งในการเลือกตั้ง พ.ศ. 2544 ยงยุทธเป็น ส.ส.เพียงคนเดียวของพรรคประชาธิปัตย์ที่สามารถเอาชนะฐานเสียงของพรรคไทยรักไทยได้ โดยเอาชนะนายทวีศักดิ์ สุภาศรี จากพรรคไทยรักไทย นายเจริญ เชาวน์ประยูร อดีต ส.ส. จากพรรคราษฎร นายณรงค์ นิยมไทย อดีต ส.ส. จากพรรคความหวังใหม่[2][4] แต่ในการเลือกตั้ง พ.ศ. 2548 ต้องพ่ายแพ้ให้กับจุลพันธ์ อมรวิวัฒน์ จากพรรคไทยรักไทย[5] บุตรชายของสมพงษ์ อมรวิวัฒน์

นอกจากนั้นแล้วยังเคยดำรงตำแหน่งทางการเมือง ได้แก่ ที่ปรึกษารัฐมนตรีช่วยว่าการกระทรวงพาณิชย์ (อำนวย ยศสุข) ที่ปรึกษารัฐมนตรีว่าการกระทรวงยุติธรรม (สุทัศน์ เงินหมื่น) และเป็นผู้เชี่ยวชาญประจำสมาชิกสภาผู้แทนราษฎร (อภิสิทธิ์ เวชชาชีวะ) ในปี พ.ศ. 2550-2554

ในการเลือกตั้ง พ.ศ. 2554 ลงสมัครรับเลือกตั้งในพื้นที่เดิมแต่ไม่ได้รับเลือกตั้ง โดยแพ้ให้กับคู่แข่งเดิม และส่งผลให้ไม่มี ส.ส.ของพรรคประชาธิปัตย์ในพื้นที่จังหวัดเชียงใหม่ แม้กระทั่งในการเลือกตั้ง พ.ศ. 2548 พ.ศ. 2550 และ พ.ศ. 2554 ในปี พ.ศ. 2555 นายยงยุทธ จึงหันไปลงสมัครรับเลือกตั้งเป็นนายกเทศมนตรีตำบลเมืองงาย และได้รับเลือกตั้งในครั้งนั้นด้วย[6]